Vị trí tương đối của đường thẳng và parabol là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được Tri Thức Học Đường biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
Chuyên đề này được Tri Thức Học Đường biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập “Tìm số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)”, vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.
I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về tương giao giữa parabol và đường thẳng
Cho đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P): y = ax^2 (a khác 0)
Số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
(a{x^2} = mx + n Leftrightarrow a{x^2} – mx – n = 0(1))
+ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
+ Phương trình (1) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P)
+ Phương trình (1) vô nghiệm thì (d) không cắt (P)
II. Bài tập ví dụ về sự tương giao giữa parabol và đường thẳng
Bài 1: Cho parabol (P): (y = {x^2}) và đường thẳng (d): y = x + m
a, Xác định tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng khi m = 6
b, Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng và parabol
Lời giải:
a, Với m = 6, ta có (d): y = x + 6
Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol (P) và đường thẳng (d) là:
({x^2} = x + 6 Leftrightarrow {x^2} – x – 6 = 0)(1)
Ta có (Delta = {b^2} – 4ac = 1 – 4.left( { – 6} right) = 25 > 0)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: ({x_1} = frac{{ – b + sqrt Delta }}{{2a}} = 3) và ({x_2} = frac{{ – b – sqrt Delta }}{{2a}} = – 2)
Với x = 3 ta có y = 9
Với x = -2 ta có y = 4
Vậy với m = 6 thì parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm có tọa độ A(3; 9) và B(-2; 4)
b, Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d):
({x^2} = x + m Leftrightarrow {x^2} – x – m = 0)(1)
Ta có (Delta = {b^2} – 4ac = 1 – 4.left( { – m} right) = 1 + 4m)
Nếu (Delta < 0 Leftrightarrow 1 + 4m < 0 Leftrightarrow m < frac{{ – 1}}{4}) thì phương trình (1) vô nghiệm hay parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung
Nếu (Delta = 0 Leftrightarrow 1 + 4m = 0 Leftrightarrow m = frac{{ – 1}}{4}) thì phương trình (1) có nghiệm kép hay parabol (P) tiếp xúc với đường thẳng (d) tại một điểm
Nếu (Delta > 0 Leftrightarrow 1 + 4m > 0 Leftrightarrow m > frac{{ – 1}}{4}) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hai parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt
Bài 2: Cho parabol (P): (y = {x^2})và đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm a và b để đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau tại điểm A(1; 1)
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:
({x^2} = ax + b Leftrightarrow {x^2} – ax – b = 0)(1)
Để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) tại một điểm thì phương trình (1) có nghiệm kép hay (Delta = 0 Leftrightarrow {a^2} + 4b = 0 Leftrightarrow b = frac{{ – {a^2}}}{4})
Với (b = frac{{ – {a^2}}}{4}) thay vào y = ax + b ta có (y = ax – frac{{{a^2}}}{4})
Đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) tại điểm A(1; 1) nên đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1). Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng (d) có:
(1 = a – frac{{{a^2}}}{4} Leftrightarrow {a^2} – 4a + 4 = 0 Leftrightarrow {left( {a – 2} right)^2} = 0 Leftrightarrow a = 2)
Với a = 2 thì b = -1
Vậy phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là: y = 2x – 1
Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = – x + 2 và parabol (P): (y = {x^2}). Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) bằng phép tính
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
({x^2} = – x + 2 Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0)(1)
Ta có (Delta = {b^2} – 4ac = 1 + 8 = 9 > 0)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ({x_1} = frac{{ – b + sqrt Delta }}{{2a}} = 1) và ({x_2} = frac{{ – b – sqrt Delta }}{{2a}} = – 2)
Với x = 1 thì y = 1
Với x = -2 thì y = -5
Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ A(1; 1) và B(-2; -5)
Bài 4: Cho parabol (P): (y = frac{1}{2}{x^2})và đường thẳng (d): (y = left( {m + 1} right)x + {m^2} + 3). Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
(frac{1}{2}{x^2} = left( {m + 1} right)x + {m^2} + 3 Leftrightarrow {x^2} – 2left( {m + 1} right)x – 2{m^2} – 6 = 0)(1)
Ta có: (Delta’= {b’}^2 – ac = {left( {m + 1} right)^2} + left( 2{m^2} + 6 right) = 3{m^2} + 2m + 7)
Có (3{m^2} + 2m + 7 = 3left( {{m^2} + 2.frac{1}{3}.m + frac{1}{9}} right) + frac{{20}}{3} = 3{left( {m + frac{1}{3}} right)^2} + frac{{20}}{3} > 0forall m)
hay (Delta ‘ > 0forall m Rightarrow) phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Vậy không tồn tại giá trị của m để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung
III. Bài tập tự luyện về tương giao giữa parabol và đường thẳng
Bài 1: Cho parabol (P): (y = {x^2})
a, Tìm hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng y = 3x – 1
b, Tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng (y = 6x – frac{9}{2})
c, Tìm giá trị của a, b sao cho đường thẳng y = ax + b tiếp xúc (P) và đi qua A(0; 2)
d, Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại B(1; 2)
e, Biện luận số giao điểm của (P) với đường thẳng y = 2mx + 1
Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = mx – 2 và parabol (P): (y = {x^2}). Tìm m để:
a, (P) không cắt (d)
b, (P) tiếp xúc với (d). Tìm tọa độ điểm tiếp xúc đó?
c, (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt
d, (P) cắt (d)