Lớp 9

Tìm x để biểu thức A > m, A < m hoặc A = m

Photo of author

By Tri Thức Học Đường

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10 

Tìm giá trị của x để biểu thức thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được Tri Thức Học Đường biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Bài tập tìm giá trị của x thỏa mãn A > m, A < m hoặc A = m được Tri Thức Học Đường biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng toán tìm giá trị của x để biểu thức thỏa mãn đẳng thức bất đẳng thức lớp 9, vốn là bài tập thường gặp trong câu hỏi phụ của phần Rút gọn biểu thức. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Nhắc lại về cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

+ Các bước khi giải bài toán tìm giá trị của x thỏa mãn A = m

– Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức, rút gọn biểu thức (nếu cần)

– Bước 2: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

– Bước 3: Lược bỏ mẫu

– Bước 4: Tìm giá trị của x

– Bước 5: Đối chiếu các giá trị của x vừa tìm được với điều kiện xác định ban đầu

+ Các bước khi giải bài toán tìm giá trị của x thỏa mãn A > m hoặc A < m

– Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức, rút gọn biểu thức (nếu cần)

– Bước 2: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

– Bước 3: Biện luận để tìm giá trị của x thỏa mãn A > m hoặc A < m

– Bước 4: Đối chiếu các giá trị của x vừa tìm được với điều kiện xác định ban đầu

II. Bài tập ví dụ về cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

Bài 1: Cho biểu thức A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x – 1}} – frac{{3sqrt x }}{{x – sqrt x }}} right):frac{2}{{x – sqrt x }}). Tìm x để A > 0

Hướng dẫn:

Bước 1: bài toán chưa cho điều kiện để biểu thức có nghĩa nên trước tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Bước 2: rút gọn biểu thức.

Bước 3: lập luận để biểu thức thỏa mãn yêu cầu đều bài.

Lời giải:

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x – 1}} – frac{{3sqrt x }}{{x – sqrt x }}} right):frac{2}{{x – sqrt x }})

Điều kiện xác định: A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(x > 0,x ne 1)

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(= left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x – 1}} – frac{{3sqrt x }}{{sqrt x left( {sqrt x – 1} right)}}} right):frac{2}{{x – sqrt x }})

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(= left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x – 1}} – frac{3}{{sqrt x – 1}}} right):frac{2}{{sqrt x left( {sqrt x – 1} right)}})

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(= frac{{1 + 2sqrt x – 3}}{{sqrt x – 1}}:frac{2}{{sqrt x left( {sqrt x – 1} right)}})

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(= frac{{2sqrt x – 2}}{{sqrt x – 1}}:frac{2}{{sqrt x left( {sqrt x – 1} right)}})

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(= frac{{2left( {sqrt x – 1} right)}}{{sqrt x – 1}}.frac{{sqrt x .left( {sqrt x – 1} right)}}{2} = sqrt x .left( {sqrt x – 1} right))

Để A > 0 thì A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(sqrt x left( {sqrt x – 1} right) > 0)

Vì A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(x > 0 Rightarrow sqrt x > 0) nên để A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(sqrt x left( {sqrt x – 1} right) > 0)

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(Leftrightarrow sqrt x – 1 > 0 Leftrightarrow sqrt x > 1 Leftrightarrow x > 1)

Kết hợp với điều kiện A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(x > 0,x ne 1 Rightarrow x > 1)

Vậy với x > 1 thì A > 0

Bài 2: Cho biểu thức:

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(A = left( {frac{{x + 2}}{{xsqrt x – 1}} + frac{1}{{x + sqrt x + 1}}} right):left( {1 + frac{{x – sqrt x – 1}}{{sqrt x – 1}}} right))

Tìm x để A < 0.

Hướng dẫn:

Bước 1: bài toán chưa cho điều kiện để biểu thức có nghĩa nên trước tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Bước 2: rút gọn biểu thức.

Bước 3: lập luận để biểu thức thỏa mãn yêu cầu đều bài.

Lời giải:

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(A = left( {frac{{x + 2}}{{xsqrt x – 1}} + frac{1}{{x + sqrt x + 1}}} right):left( {1 + frac{{x – sqrt x – 1}}{{sqrt x – 1}}} right))

Điều kiện xác định: A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(x ge 0;x ne 1)

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(= left[ {frac{{x + 2}}{{left( {sqrt x – 1} right)left( {x + sqrt x + 1} right)}} + frac{1}{{x + sqrt x + 1}}} right]:left( {frac{{sqrt x – 1 + x – sqrt x – 1}}{{sqrt x – 1}}} right))

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(= frac{{x + 2 + sqrt x – 1}}{{left( {sqrt x – 1} right)left( {x + sqrt x + 1} right)}}.frac{{sqrt x – 1}}{{x – 2}})

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(= frac{{x + sqrt x + 1}}{{left( {sqrt x – 1} right)left( {x + sqrt x + 1} right)}}.frac{{sqrt x – 1}}{{x – 2}} = frac{1}{{x – 2}})

Để A < 0 thì A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(frac{1}{{x – 2}} < 0) (tử và mẫu trái dấu)

Vì 1 > 0 nên để A < 0 A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(Rightarrow x – 2 > 0 Leftrightarrow x > 2)

Kết hợp với điều kiện A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(x ge 0;x ne 1 Rightarrow x > 2)

Vậy với x > 2 thì A < 0

Bài 3: Cho biểu thức A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(A = frac{{x + 6sqrt x + 5}}{{x – 2sqrt x – 3}}). Tìm x để A = -2

Hướng dẫn:

Bước 1: bài toán chưa cho điều kiện để biểu thức có nghĩa nên trước tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Bước 2: rút gọn biểu thức.

Bước 3: lập luận để biểu thức thỏa mãn yêu cầu đều bài.

Lời giải:

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(A = frac{{x + 6sqrt x + 5}}{{x – 2sqrt x – 3}})

Điều kiện xác định: A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(x ge 0;x ne 3)

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(= frac{{x + sqrt x + 5sqrt x + 5}}{{x + sqrt x – 3sqrt x – 3}} = frac{{sqrt x left( {sqrt x + 1} right) + 5left( {sqrt x + 1} right)}}{{sqrt x left( {sqrt x + 1} right) – 3left( {sqrt x + 1} right)}})

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(= frac{{left( {sqrt x + 5} right)left( {sqrt x + 1} right)}}{{left( {sqrt x – 3} right)left( {sqrt x + 1} right)}} = frac{{sqrt x + 5}}{{sqrt x – 3}})

Để A = -2 A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(Rightarrow frac{{sqrt x + 5}}{{sqrt x – 3}} = – 2 Leftrightarrow frac{{sqrt x + 5}}{{sqrt x – 3}} = frac{{ – 2left( {sqrt x – 3} right)}}{{sqrt x – 3}})

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(Leftrightarrow sqrt x + 5 = – 2sqrt x + 6)

A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(Leftrightarrow 3sqrt x = 1 Leftrightarrow sqrt x = frac{1}{3} Leftrightarrow x = frac{1}{9})

Kết hợp với điều kiện A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(x ge 0;x ne 3 Rightarrow x = frac{1}{9})

Vậy với A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(x = frac{1}{9}) thì A = -2

III. Bài tập tự luyện về cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

Bài 1: Cho biểu thức A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(A = left( {frac{{sqrt x + 2}}{{x + 2sqrt x + 1}} – frac{{sqrt x – 2}}{{x – 1}}} right):frac{{sqrt x }}{{sqrt x + 1}}) với A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(x ge 0;x ne 1)

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm x để A < 0

Bài 2: Cho biểu thức A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(A = frac{{x + 2}}{{x + 3}} – frac{5}{{{x^2} + x – 6}} + frac{1}{{2 – x}})

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm x để A > 0

Bài 3: Cho biểu thức A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(A = left( {frac{{sqrt x – 2}}{{x – 1}} – frac{{sqrt x + 2}}{{x + 2sqrt x + 1}}} right).{left( {frac{{1 – x}}{{sqrt 2 }}} right)^2})

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm x để A > 0

Bài 4: Cho biểu thức A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(A = frac{{{x^2}}}{{x – 2}}.left( {frac{{{x^2} + 4}}{x} – 4} right) – 3)

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm x để A = 0

c, Tìm x để A = 3x – 9

Bài 5: Cho biểu thức A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(P = left( {frac{{2sqrt x }}{{sqrt x + 3}} + frac{{sqrt x }}{{sqrt x – 3}} – frac{{3x + 3}}{{x – 9}}} right):left( {frac{{2sqrt x – 2}}{{sqrt x – 3}} – 1} right))

a, Rút gọn P

b, Tìm x để A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(P < frac{{ – 1}}{2})

Bài 6: Cho biểu thức A = left( {frac{{1 + 2sqrt x }}{{sqrt x - 1}} - frac{{3sqrt x }}{{x - sqrt x }}} right):frac{2}{{x - sqrt x }}(P = left( {frac{1}{{sqrt x + 1}} – frac{{2sqrt x – 2}}{{xsqrt x – sqrt x + x – 1}}} right):left( {frac{1}{{sqrt x – 1}} – frac{2}{{x – 1}}} right))

a, Rút gọn P

b, Tìm x để |P| = P

Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức