Tìm m để phương trình sau có nghiệm cung cấp lý thuyết cơ bản và các dạng bài tập tìm m để phương trình có nghiệm, từ đó chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 môn Toán sắp tới. Dươi đây là nội dung tài liệu, mời các bạn tham khảo.
I. Nhắc lại về điều kiện để phương trình có nghiệm
1. Nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn
+ Để phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 có nghiệm khi a ≠ 0.
2. Nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
+ Để phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 có nghiệm khi 
(left{ begin{array}{l} a ne 0\ Delta ge 0 end{array} right.)
II. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 1:Tìm m để phương trình -2x2 – 4x + 3 = m có nghiệm
Hướng dẫn:
Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm để giải bài toán.
Lời giải:
-2x2 – 4x + 3 = m ⇔ -2x2 – 4x + 3 – m = 0
Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆‘ > 0
(begin{array}{l} Leftrightarrow {left( { – 2} right)^2} – left( { – 2} right).left( {3 – m} right) ge 0\ Leftrightarrow 4 + 6 – 2m ge 0\ Leftrightarrow – 2m ge – 10\ Leftrightarrow m le 5 end{array})
Vậy với m ≤ 5 thì phương trình có -2x2 – 4x + 3 = m có nghiệm
Bài 2: Tìm m để phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 3 = 0 có nghiệm.
Hướng dẫn:
Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm để giải bài toán.
Lời giải:
Để phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 3 = 0 có nghiệm ⇔ ∆’ ≥ 0
(begin{array}{l} Leftrightarrow {left( {m + 1} right)^2} – 1.left( {{m^2} – 4m + 3} right) ge 0\ Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 – {m^2} + 4m – 3 ge 0\ Leftrightarrow 6m ge 2\ Leftrightarrow m ge frac{1}{3} end{array})
Vậy với (m ge frac{1}{3}) thì phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 3 = 0 có nghiệm
Bài 3: Chứng minh phương trình x2 + (m – 3)x – 3m = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Hướng dẫn:
Xét ∆ và chứng minh ∆ luôn dương với mọi tham số m, khi đó phương trình luôn có nghiệm.
Lời giải:
Ta có ∆ = (m – 3)2 – 4.1.(-3m) = m2 + 6m + 9 = (m + 3)2 ≥ 0 ∀ m
Vậy phương trình x2 + (m – 3)x – 3m = 0 luôn có nghiệm với mọi m
Bài 4: Tìm m để phương trình (m – 1)x2 – 2(m + 2)x + m + 2 = 0 có nghiệm
Hướng dẫn:
Do hệ số của biến x2 chứa tham số m nên ta phải chia thành hai trường hợp để giải bài toán.
Lời giải:
Bài toán chia thành 2 trường hợp
TH1: m – 1 = 0 ⇔ m = 1. Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất một ẩn (- 6x + 3 = 0 Leftrightarrow x = frac{1}{2})
TH2: m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1. Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc hai một ẩn (left( {m – 1} right){x^2} – 2left( {m + 2} right)x + m + 2 = 0)
Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆’ ≥ 0
(begin{array}{l} Leftrightarrow {left( {m + 2} right)^2} – left( {m – 1} right).left( {m + 2} right) ge 0\ Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 – {m^2} – m + 2 ge 0\ Leftrightarrow 3m + 6 ge 0\ Leftrightarrow m ge frac{{ – 1}}{2} end{array})
Vậy với (m ge frac{{ – 1}}{2}) thì phương trình (m – 1)x2 – 2(m + 2)x + m + 2 = 0 có nghiệm
Bài 5: Tìm m để phương trình (m{x^2} + {m^2}x + 3 = 0) có nghiệm
Lời giải
Bài toán chia thành 2 trường hợp
TH1: m = 0. Khi đó phương trình trở thành: 3 = 0 (vô lý)
Với m = 0 không thỏa mãn điều kiện đề bài.
TH2: m ≠ 0. Khi đó phương trình trở thành: (m{x^2} + {m^2}x + 3 = 0)
Để phương trình có nghiệm (Leftrightarrow Delta geq 0)
(begin{matrix} {m^2} – 4.{m^2}.3 geq 0 hfill \ Leftrightarrow {m^2} – 12{m^2} geq 0 hfill \ Leftrightarrow – 11{m^2} geq 0 hfill \ end{matrix})
→ Vô lý
Vậy không tồn tại giá trị của m để phương trình (m{x^2} + {m^2}x + 3 = 0) có nghiệm
III. Bài tập tự luyện tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 1: Tìm các giá trị của m để các phương trình dưới đây có nghiệm
1, ({x^2} + 2left( {m – 3} right)x + {m^2} – 3 = 0)
2, ({x^2} – 2left( {m + 2} right)x + {m^2} + 4m + 3 = 0)
3, ({x^2} – 2left( {m + 2} right)x + m + 1 = 0)
4, ({x^2} – 2mx + {m^2} – m + 1 = 0)
5, (3{x^2} – 2x – m + 1 = 0)
6, ({x^2} – 2x + m – 1 = 0)
7, ({x^2} – 2mx + m – 2 = 0)
8, ({x^2} – 5x + m = 0)
9, ({x^2} – 2mx + {m^2} – 1 = 0)
10, ({x^2} – 4x + m + 2 = 0)
11, ({x^2} + 2left( {m – 3} right)x + {m^2} – 3 = 0)
12,(left( {m – 1} right){x^2} – 2left( {m + 2} right)x + m = 0)
13, ({x^2} – 2left( {m – 1} right)x + {m^2} – 3m = 0)
14, ({x^2} + 2mx + {m^2} + m – 3 = 0)
15, (m{x^2} – 2left( {m – 1} right)x + m + 1 = 0)
Bài 2: Chứng minh rằng các phương trình dưới đây luôn có nghiệm với mọi m
1, ({x^2} + 2left( {m + 1} right)x + 2m – 4 = 0)
2, (x^2-left(2m+1right)x+m^2+m-6=0)
Bài 3. Tìm các giá trị của m để các phương trình dưới đây có nghiệm:
1) (3{x^2} – mx + {m^2} = 0)
2) ({x^2} – 2mx + left( {5m – 4} right) = 0)
3) (m{x^2} – x + 2 = 0)
4) ({x^2} – 2left( {m – 3} right)x – 2left( {m – 1} right) = 0)
5) ({x^2} – left( {2m – 1} right)x + {m^2} – 1 = 0)