Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước được Tri Thức Học Đường tổng hợp và chia sẻ xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Các dạng bài tập tìm m thường gặp trong các đề thi Toán 9 hoặc đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để nâng cao kỹ năng giải bài các em cùng tham khảo các dạng bài toán tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất mà Tri Thức Học Đường tổng hợp dưới đây nhé.
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
– Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: 
(left{ {begin{array}{*{20}{c}} {ax + by = c} \ {hx + ky = d} end{array}} right.left( * right))
Trong đó x, y là ẩn số, các chữ số a, b, h, k, c, d là các hệ số
– Nếu cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ phương trình (*) thì ta gọi (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình (*)
– Giải hệ phương trình (*) ta tìm được tập nghiệm của nó
II. Cách giải bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước
+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có)
+ Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
+ Bước 3: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m
+ Bước 4: Thay nghiệm (x; y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện
+ Bước 5: Giải biểu thức điều kiện để tìm m, kết hợp với điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
+ Bước 6: Kết luận
III. Bài tập ví dụ bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: Cho hệ phương trình (left{ {begin{array}{*{20}{c}} {left( {m – 1} right)x + y = 2} \ {mx + y = m + 1} end{array}} right.) với m là tham số.
a) Giải hệ phương trình khi m = 2.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y ≤ 3
Lời giải:
a) Giải hệ phương trình khi m = 2
Thay m = 2 vào hệ phương trình ta được:
(left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2} \ {2x + y = 3} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2} \ {x = 1} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \ {x = 1} end{array}} right.)
Vậy khi m = 2 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1)
b) Rút y từ phương trình thứ nhất ta được
y = 2 – (m – 1)x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:
3m + 2 – (m – 1)x = m + 1
<=> x = m – 1
Suy ra y = 2(m – 1)2 với mọi m
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)2)
2x + y = 2(m – 1) + 2 – (m – 1)2 = -m2 + 4m – 1 = 3 – (m – 2)2 ≤ 3 với mọi giá trị của m.
Bài 2: Cho hệ phương trình
a, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (left{ begin{array}{l} 3x + my = 4\ x + y = 1 end{array} right.)
b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x < 0; y > 0
Lời giải:
a, Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (Leftrightarrow frac{3}{1} ne frac{m}{1}) ⇔ m ≠ 3
b, Với m ≠ 3, hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Theo đề bài, ta có:
(left{ begin{array}{l} 3x + my = 4\ x + y = 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 3left( {1 – y} right) + my = 4\ x = 1 – y end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 3 – 3y + my = 4\ x = 1 – y end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} y = frac{1}{{m – 3}}\ x = frac{{m – 4}}{{m – 3}} end{array} right.)
Để y > 0 (Leftrightarrow frac{1}{{m – 3}} > 0) ⇒ m – 3 > 0 ⇔ m > 3
Để x < 0 khi và chỉ khi
(frac{{m – 4}}{{m – 3}} < 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} m – 4 > 0\ m – 3 < 0 end{array} right.\ left{ begin{array}{l} m – 4 < 0\ m – 3 > 0 end{array} right. end{array} right. Rightarrow 3 < m < 4)
Vậy với 3 < m < 4 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0 và y > 0
Bài 3: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất và là nghiệm nguyên: (left{ begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\ 2x + my = 2m – 1 end{array} right.)
Lời giải:
Với m = 0 hệ phương trình trở thành (left{ begin{array}{l} 2y = 1\ 2x = 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} y = frac{1}{2}\ x = frac{1}{2} end{array} right.) (loại do các nghiệm nguyên)
Với m khác 0, để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(Leftrightarrow frac{m}{2} ne frac{2}{m}) ⇔ m2 ≠ 4 ⇔ m ≠ ± 2, kết hợp với điều kiện m ≠ 0 ⇒ m ≠ 0 và m ≠ ± 2
Vậy với m ≠ 0 và m ≠ ± 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Ta có:
(left{ begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\ 2x + my = 2m – 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 2y = m + 1 – mx\ 2x + my = 2m – 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} y = frac{{m + 1 – mx}}{2}\ 2x + m.frac{{m + 1 – mx}}{2} = 2m – 1 end{array} right.)
(Leftrightarrow left{ begin{array}{l} y = frac{{m + 1 – mx}}{2} = frac{{2m + 1}}{{m + 2}}\ x = frac{{m – 1}}{{m + 2}} end{array} right.)
Để x nguyên (Leftrightarrow frac{{m – 1}}{{m + 2}} in Z Leftrightarrow 1 – frac{3}{{m + 2}} in Z)
Để y nguyên (Leftrightarrow frac{{2m + 1}}{{m + 2}} in Z Leftrightarrow 2 – frac{3}{{m + 2}} in Z)
Vậy để x, y nguyên thì m + 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}
Ta có bảng:
| m + 5 | -3 | -1 | 1 | 3 |
| m | -5 ™ | -2 (loại) | -1 ™ | 1 ™ |
Vậy với m ∈ {-5; -1; 1} thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn các nghiệm nguyên
Bài 4: Cho hệ phương trình (left{ begin{array}{l} x + y = m\ {x^2} + {y^2} = – {m^2} + 6 end{array} right.). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải:
(left{ begin{array}{l} x + y = m\ {x^2} + {y^2} = – {m^2} + 6 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x + y = m\ {left( {x + y} right)^2} – 2xy = – {m^2} + 6 end{array} right.)
(left{ begin{array}{l} x + y = m\ xy = {m^2} – 3 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = m – yleft( 1 right)\ {x^2} – mx + {m^2} – 3 = 0left( 2 right) end{array} right.)
Để hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm
⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ -3m2 + 12 0 ⇔ m2 – 4 ≤ 0 ⇔ (m – 2)(m + 2) ≤ 0
(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} m – 2 le 0\ m + 2 ge 0 end{array} right.\ left{ begin{array}{l} m – 2 le 0\ m + 2 ge 0 end{array} right. end{array} right. Rightarrow – 2 le m le 2)
Vậy với -2 ≤ m ≤ 2 thì hệ phương trình có nghiệm.
Ta có P = xy + 2 (x + y) = m2 – 3 + 2m = (m + 1)2 – 4 ≥ – 4
Dấu “=” xảy ta khi m = -1 (thỏa mãn)
Vậy min P = -4 khi m = -1
IV. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: Cho hệ phương trình: (left{ begin{array}{l} left( {m + 1} right)x – 2y = m – 1\ {m^2}x – y = {m^2} + 2m end{array} right.). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho các nghiệm đều nguyên
Bài 2: Cho hệ phương trình: (left{ begin{array}{l} mx – y = 1\ x + my = m + 6 end{array} right.). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 3x – y = 1
Bài 3: Cho hệ phương trình (left{ begin{array}{l} mx + 2y = 18\ x – y = – 6 end{array} right.). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y = 9
Bài 4: Cho hệ phương trình (left{ begin{array}{l} x + 2y = 5\ mx + y = 4 end{array} right.). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x = |y|.
Bài 5: Cho hệ phương trình (left{ begin{array}{l} 2x – y = 1\ mx + y = 5 end{array} right.). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn
a, x và y trái dấu
b, x và y cùng dương
Bài 6: Cho hệ phương trình (left{ begin{array}{l} left( {m + 1} right)x + my = 2m – 1\ mx – y = {m^2} – 2 end{array} right.). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho P = x.y đạt giá trị lớn nhất
Bài 7: Cho hệ phương trình (left{ begin{array}{l} x – 2y = 3 – m\ 2x + y = 3left( {m + 2} right) end{array} right.). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho A = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất