Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁ x₂ là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được Tri Thức Học Đường biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh tham khảo. Tài liệu bao gồm lý thuyết kèm các bài tập minh họa và bài tập tự luyện giúp các em nắm vững kiến thức được học, từ đó học tốt môn Toán hơn.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Định lý Vi ét đảo

+ Nếu có hai số ({x_1};{x_2}) thỏa mãn (left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = S\ {x_1}{x_2} = P end{array} right.left( {{S^2} ge 4P} right)) thì chúng là nghiệm số của phương trình: ({X^2} – S.X + P = 0)

II. Bài tập ví dụ về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1/x₁ và 1/x₂ biết x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² – 2mx + m² – 1 = 0.

Hướng dẫn:

Bước 1: Sử dụng định lý Vi-ét để tìm được các giá trị x₁ + x₂ và x₁x₂.

Bước 2: Sử dụng định lý Vi-ét đảo để lập phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải:

Nếu ({x_1};{x_2}) là nghiệm của phương trình ({x^2} – 2mx + {m^2} – 1 = 0) thì theo định lý Vi ét có:

(left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m\ {x_1}{x_2} = {m^2} – 1 end{array} right.)

Khi đó: Đặt ({t_1} = frac{1}{{{x_1}}};t = frac{1}{{{x_2}}}) (điều kiện ({x_1}{x_2} ne 0 Leftrightarrow {m^2} – 1 ne 0 Leftrightarrow m ne pm 1))

Ta có ({t_1} + {t_2} = frac{1}{{{x_1}}} + frac{1}{{{x_2}}} = frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = frac{{2m}}{{{m^2} – 1}}) và ({t_1}{t_2} = frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = frac{1}{{{m^2} – 1}})

Theo định lý Vi ét đảo thì t₁, t₂ hay 1/x1; 1/x2 là nghiệm của phương trình:

({t^2} – frac{{2m}}{{{m^2} – 1}}t + frac{1}{{{m^2} – 1}} = 0)

Bài 2: Cho phương trình ({x^2} – 3x + 2 = 0) có hai nghiệm phân biệt ({x_1};{x_2}). Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thỏa mãn ({y_1} = {x_2} + frac{1}{{{x_1}}})và ({y_2} = {x_1} + frac{1}{{{x_2}}})

Hướng dẫn:

Bước 1: Sử dụng định lý Vi-ét để tìm được các giá trị x₁ + x₂ và x₁x₂.

Bước 2: Sử dụng định lý Vi-ét đảo để lập phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải:

Có ({x_1};{x_2}) là hai nghiệm phân biệt của phương trình ({x^2} – 3x + 2 = 0) nên theo định lý Vi ét ta được:

(left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = frac{{ – b}}{a} = 3\ {x_1}{x_2} = frac{c}{a} = 2 end{array} right.)

Có ({y_1} + {y_2} = {x_2} + frac{1}{{{x_1}}} + {x_1} + frac{1}{{{x_2}}} = left( {{x_1} + {x_2}} right) + frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 3 + frac{3}{2} = frac{9}{2})

Và ({y_1}{y_2} = left( {{x_1} + frac{1}{{{x_2}}}} right)left( {{x_2} + frac{1}{{{x_1}}}} right) = {x_1}{x_2} + 1 + 1 + frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = 2 + 2 + 2 = 6)

Theo định lý Vi-ét đảo thì ({y_1},{y_2}) là nghiệm của phương trình :

({y^2} – frac{9}{2}y + 6 = 0 Leftrightarrow 2{y^2} – 9y + 12 = 0)

III. Bài tập tự luyện về bài toán lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm

Bài 1: Cho x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình ({x^2} – 7x + 3 = 0). Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là (2{x_1} – {x_2}) và (2{x_2} – {x_1})

Bài 2: Không giải phương trình ({x^2} – 11x + 5 =0). Hãy lập phương trình bậc 2 có nghiệm là nghịch đảo các nghiệm của phương trình trên

Bài 3: Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc 2 có hai nghiệm là số đối hai nghiệm của phương trình ({x^2} – x – 4 = 0)

Bài 4: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là ({x_1} = 2 – sqrt 3) và ({x_2} = 2 + sqrt 3)

Bài 5: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo nghiệm của phương trình ({x^2} + mx – 2 = 0)

Bài 6: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó là các số  (frac{1}{{{x_1}^2}})và (frac{1}{{{x_2}^2}}) trong đó ({x_1},{x_2}) là nghiệm của phương trình (2{x^2} – 7x + 6 = 0)

Bài 7: Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm của nó là các số  (1 + {x_1}^3)và (1 + {x_2}^3) trong đó ({x_1},{x_2}) là nghiệm của phương trình (2{x^2} – 7x + 6 = 0)

Bài 8: Cho phương trình ({x^2} – 5x – 1 = 0) có hai nghiệm là ({x_1};{x_2}). Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y (với các hệ số nguyên) có hai nghiệm lần lượt là:

a, ({y_1} = 1 + frac{1}{{{x_1}}}) và ({y_2} = 1 + frac{1}{{{x_2}}})

b, ({y_1} = frac{2}{{{x_1}}}) và ({y_2} = frac{2}{{{x_2}}})

c, ({y_1} = {x_1}^3 + 3) và ({y_2} = 3 – {x_2}^3)

d, ({y_2} = {x_1} + 2{x_2}^2) và ({y_2} = {x_2} + 2{x_1}^2)

Bài 9: Biết (x_1;;x_2)là nghiệm của phương trình bậc hai (5x^2-7x+1=0). Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm là (frac{x_1}{x_2+1}) và (frac{x_2}{x_1+1}).

Bài 10: Cho phương trình bậc hai (2x^2-mx+m-2=0) (m là tham số):

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y₁; y₂ biết (y_1+y_2=x_1+x_2) và (y_1^2+y_2^2=1).

—————–