Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được Tri Thức Học Đường biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Bài tập về cách giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ được Tri Thức Học Đường biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài “Giải hệ phương trình” và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và đặt điều kiện cho ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số) sau đó kết hợp với điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 4: Với mỗi giá trị ẩn phụ tìm được, tìm nghiệm tương ứng của hệ phương trình và kết hợp với điều kiện ban đầu

II. Bài tập ví dụ giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, (left{ begin{array}{l} frac{2}{x} + frac{3}{y} = 3\ frac{1}{x} + frac{2}{y} = 1 end{array} right.)	2, (left{ begin{array}{l} frac{3}{{2x – y}} – frac{6}{{x + y}} = – 1\ frac{1}{{2x – y}} – frac{1}{{x + y}} = 0 end{array} right.)
3, (left{ begin{array}{l} frac{2}{{x + y – 5}} + frac{3}{{2x – y + 1}} = 2\ frac{4}{{x + y – 5}} – frac{3}{{2x – y + 1}} = 1 end{array} right.)	4, (left{ begin{array}{l} left| {x – 1} right| + y = 2\ 3left| {1 – x} right| – 2y = 1 end{array} right.)
5, (left{ begin{array}{l} 2left( {{x^2} – 2x} right) + sqrt {y + 1} = 0\ 3left( {{x^2} – 2x} right) – 2sqrt {y + 1} = – 7 end{array} right.)	6, (left{ begin{array}{l} frac{5}{{x – 2}} – frac{{2y – 4}}{{y – 3}} = 2\ frac{{x + 2}}{{x – 2}} – frac{2}{{y – 3}} = 4 end{array} right.)

Lời giải:

a, (left{ begin{array}{l} frac{2}{x} + frac{3}{y} = 3\ frac{1}{x} + frac{2}{y} = 1 end{array} right.)(I) , điều kiện (x ne 0;y ne 0)

Đặt (a = frac{1}{x};b = frac{1}{y}left( {a ne 0;b ne 0} right))

Khi đó hệ (I) trở thành:

(left{ begin{array}{l} 2a + 3b = 3\ a + 2b = 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 2a + 3b = 3\ 2a + 4b = 2 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} left( {2a + 4b} right) – left( {2a + 3b} right) = 2 – 3\ 2a + 4b = 2 end{array} right.)

(left{ begin{array}{l} b = – 1\ 2a – 4 = 2 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = 3 ™\ b = – 1 ™ end{array} right.)

Với (a = 3 Rightarrow frac{1}{x} = 3 Leftrightarrow x = frac{1}{3}left( {tm} right))

Với (b = – 1 Rightarrow frac{1}{y} = – 1 Leftrightarrow y = – 1left( {tm} right))

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (left( {x;y} right) = left( {frac{1}{3}; – 1} right))

b, (left{ begin{array}{l} frac{3}{{2x – y}} – frac{6}{{x + y}} = – 1\ frac{1}{{2x – y}} – frac{1}{{x + y}} = 0 end{array} right.)(I), điều kiện (left{ begin{array}{l} 2x – y ne 0\ x + y ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 2x ne y\ x ne – y end{array} right.)

Đặt (a = frac{1}{{2x – y}};b = frac{1}{{x + y}}left( {a ne 0;b ne 0} right))

Khi đó hệ (I) trở thành:

(left{ begin{array}{l} 3a – 6b = – 1\ a – b = 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 3a – 6a = – 1\ a = b end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 3a = – 1\ a = b end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = frac{1}{3} ™\ b = frac{1}{3} ™ end{array} right.)

Với (a = frac{1}{3} Rightarrow frac{1}{{2x – y}} = frac{1}{3} Rightarrow 2x – y = 3)(1)

Với (b = frac{1}{3} Rightarrow frac{1}{{x + y}} = frac{1}{3} Rightarrow x + y = 3)(2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

(left{ begin{array}{l} 2x – y = 3\ x + y = 3 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} left( {2x – y} right) + left( {x + y} right) = 3 + 3\ x + y = 3 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = 2(tm)\ y = 1(tm) end{array} right.)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (2; 1)

c, (left{ begin{array}{l} frac{2}{{x + y – 5}} + frac{3}{{2x – y + 1}} = 2\ frac{4}{{x + y – 5}} – frac{3}{{2x – y + 1}} = 1 end{array} right.)(I), điều kiện (left{ begin{array}{l} x + y – 5 ne 0\ 2x – y + 1 ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x + y ne 5\ 2x – y ne – 1 end{array} right.)

Đặt (a = frac{1}{{x + y – 5}};b = frac{1}{{2x – y + 1}}left( {a ne 0;b ne 0} right))

Khi đó hệ (I) trở thành:

(left{ begin{array}{l} 2a + 3b = 2\ 4a – 3b = 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} left( {2a + 3b} right) + left( {4a – 3b} right) = 3\ 4a – 3b = 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 6a = 3\ 4a – 3b = 1 end{array} right.)

(left{ begin{array}{l} a = frac{1}{2}\ 4.frac{1}{2} – 3b = 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = frac{1}{2} ™\ b = frac{1}{3} ™ end{array} right.)

Với (a = frac{1}{2} Rightarrow frac{1}{{x + y – 5}} = frac{1}{2} Rightarrow x + y – 5 = 2 Leftrightarrow x + y = 7) (1)

Với (b = frac{1}{3} Rightarrow frac{1}{{2x – y + 1}} = frac{1}{3} Rightarrow 2x – y + 1 = 3 Leftrightarrow 2x – y = 2)(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

(left{ begin{array}{l} x + y = 7\ 2x – y = 2 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x + y = 7\ 3x = 9 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = 3\ y = 4 end{array} right.left( {tm} right))

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (3; 4)

d, (left{ begin{array}{l} left| {x – 1} right| + y = 2\ 3left| {1 – x} right| – 2y = 1 end{array} right.)(I)

Đặt (a = left| {x – 1} right|left( {a ge 0} right))

Khi đó hệ (I) trở thành:

(left{ begin{array}{l} a + y = 2\ 3a – 2y = 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 2a + 2y = 4\ 3a – 2y = 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 5a = 5\ 3a – 2y = 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = 1left( {tm} right)\ y = 1 end{array} right.)

Với (a = 1 Rightarrow left| {x – 1} right| = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 2\ x = 0 end{array} right.)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (0; 1)

e, (left{ begin{array}{l} 2left( {{x^2} – 2x} right) + sqrt {y + 1} = 0\ 3left( {{x^2} – 2x} right) – 2sqrt {y + 1} = – 7 end{array} right.)(I), điều kiện (y + 1 ge 0 Leftrightarrow y ge – 1)

Đặt (a = {x^2} – 2x;b = sqrt {y + 1} left( {b ge 0} right))

Hệ (I) trở thành:

(left{ begin{array}{l} 2a + b = 0\ 3a – 2b = – 7 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 4a + 2b = 0\ 3a – 2b = – 7 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 7a = – 7\ 3a – 2b = – 7 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = – 1\ b = 2left( {tm} right) end{array} right.)

Với (a = – 1 Rightarrow {x^2} – 2a = – 1 Leftrightarrow {left( {x – 1} right)^2} = 1 Leftrightarrow x = 1)

Với (b = 2 Rightarrow sqrt {y + 1} = 2 Leftrightarrow y + 1 = 4 Leftrightarrow y = 3left( {tm} right))

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (1; 3)

f, (left{ begin{array}{l} frac{5}{{x – 2}} – frac{{2y – 4}}{{y – 3}} = 2\ frac{{x + 2}}{{x – 2}} – frac{2}{{y – 3}} = 4 end{array} right.)(I), điều kiện (left{ begin{array}{l} x – 2 ne 0\ y – 3 ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ne 2\ y ne 3 end{array} right.)

(left( I right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l} frac{5}{{x – 2}} – frac{{2left( {y – 3} right) + – 2}}{{y – 3}} = 2\ frac{{left( {x – 2} right) + 4}}{{x – 2}} – frac{2}{{y – 3}} = 4 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} frac{5}{{x – 2}} – 2 + frac{2}{{y – 3}} = 2\ 1 + frac{4}{{x – 2}} – frac{2}{{y – 3}} = 4 end{array} right.)

Đặt (a = frac{1}{{x – 2}};b = frac{1}{{y – 3}}left( {a ne 0;b ne 0} right))

Hệ (I) trở thành:

(left{ begin{array}{l} 5a + 2b = 4\ 4a – 2b = 3 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 9a = 7\ 4a – 2b = 3 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = frac{7}{9} ™\ b = frac{1}{{18}} ™ end{array} right.)

Với (a = frac{7}{9} Rightarrow frac{1}{{x – 2}} = frac{7}{9} Rightarrow x – 2 = frac{9}{7} Leftrightarrow x = frac{{23}}{7}) ™

Với (b = frac{1}{{18}} Rightarrow frac{1}{{y – 3}} = frac{1}{{18}} Rightarrow y – 3 = 18 Leftrightarrow y = 21)(tm)

Vậy hệ phương trình có nghiệm

III. Bài tập tự luyện giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, (left{ begin{array}{l} frac{2}{x} + frac{5}{y} = 43\ frac{7}{x} – frac{3}{y} = 7 end{array} right.)	2, (left{ begin{array}{l} frac{3}{{x – 1}} – frac{2}{{y + 2}} = – 1\ frac{3}{{x – 1}} + frac{2}{{y + 2}} = 2 end{array} right.)
3, (left{ begin{array}{l} frac{x}{{x – 1}} + frac{y}{{y – 1}} = 0\ frac{{2x}}{{x – 1}} – frac{y}{{y – 1}} = 6 end{array} right.)	4, (left{ begin{array}{l} 2{x^2} + {y^2} = 4\ 3{x^2} – {y^2} = 1 end{array} right.)
5, (left{ begin{array}{l} frac{4}{{2x + 1}} + frac{9}{{y – 1}} = – 1\ frac{3}{{2x + 1}} – frac{2}{{y – 1}} = frac{{13}}{6} end{array} right.)	6, (left{ begin{array}{l} frac{2}{{x + y – 1}} – frac{1}{{x – y + 1}} = frac{{ – 14}}{5}\ frac{1}{{x + y – 1}} – frac{1}{{x – y + 1}} = frac{{ – 13}}{5} end{array} right.)
7, (left{ begin{array}{l} 2x + 4left| y right| = 14\ x – 5y = – 7 end{array} right.)	8, (left{ begin{array}{l} left| x right| + 4left| y right| = 18\ 3left| x right| + left| y right| = 10 end{array} right.)
9, (left{ begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 13\ 3{x^2} – 2{y^2} = – 6 end{array} right.)	10, (left{ begin{array}{l} 3sqrt x + 2sqrt y = 16\ 2sqrt x – 3sqrt y = – 11 end{array} right.)
11, (left{ begin{array}{l} 5left| {x – 1} right| – 3left| {y + 2} right| = 7\ 2sqrt {4{x^2} – 8x + 4} + 5sqrt {{y^2} + 4y + 4} = 13 end{array} right.)

——————-