Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một dạng toán thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Để giúp các em học sinh nắm vững kiến thức phần này, Tri Thức Học Đường gửi tới các bạn tài liệu Bất đẳng thức Bunhiacopxki. Tài liệu được Tri Thức Học Đường biên soạn bao gồm một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Bunhiacopxki và một số bài tập vận dụng cho các em tham khảo luyện tập. Mời các bạn tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé.
I. Một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Bunhiacopxki
1) Giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Thường được gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki.
+ Bất đẳng thức này rất quen thuộc và thường được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị.
2) Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:
(left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge {left( {ac + bd} right)^2})
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (frac{a}{c} = frac{b}{d})
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:
Với hai bộ số (left( {{a_1},{a_2},…,{a_n}} right)) và (left( {{b_1},{b_2},…,{b_n}} right)) ta có:
(left( {a_1^2 + a_1^2 + … + a_n^2} right)left( {b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2} right) ge {left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + … + {a_n}{b_n}} right)^2})
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = … = frac{{{a_n}}}{{{b_n}}})
Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0
3) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản
+ Có (left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge {left( {ac + bd} right)^2})
(begin{array}{l} Leftrightarrow left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge {left( {ac + bd} right)^2}\ Leftrightarrow {left( {ac} right)^2} + {left( {ad} right)^2} + {left( {bc} right)^2} + {left( {bd} right)^2} ge {left( {ac} right)^2} + 2abcd + {left( {bd} right)^2}\ Leftrightarrow {left( {ad} right)^2} + {left( {bc} right)^2} ge 2abcd\ Leftrightarrow {left( {ad} right)^2} – 2abcd + {left( {bc} right)^2} ge 0 end{array})
(Leftrightarrow {left( {ad – bc} right)^2} ge 0)(luôn đúng)
4) Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki
(left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge 4abcd)
II. Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9
Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:
(sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}} le sqrt 6)
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(1.sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + 1.sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + 1.sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}})
(le sqrt {left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} right)left( {frac{{a + b}}{{a + b + c}} + frac{{b + c}}{{a + b + c}} + frac{{c + a}}{{a + b + c}}} right)})
(Leftrightarrow sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}} le sqrt {3.2} = sqrt 6) (điều phải chứng minh)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (A = sqrt {x – 2} + sqrt {4 – x})
Lời giải:
(A = sqrt {x – 2} + sqrt {4 – x})
Điều kiện: (2 le x le 4)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:
({left[ {1.sqrt {x – 2} + 1.sqrt {4 – x} } right]^2} le left( {{1^2} + {1^2}} right)left( {x – 2 + 4 – x} right) = {2^2} = 4)
(begin{array}{l} Rightarrow {A^2} le 4\ Leftrightarrow – 2 le A le 2 end{array})
A max = 2 khi (frac{1}{{sqrt {x – 2} }} = frac{1}{{sqrt {4 – x} }} Leftrightarrow x – 2 = 4 – x Leftrightarrow x = 3)(thỏa mãn)
Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3
Bài 3: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì (sqrt {p – a} + sqrt {p – b} + sqrt {p – c} le sqrt {3p})
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:
(1.sqrt {p – a} + 1.sqrt {p – b} + 1.sqrt {p – c} le sqrt {left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} right)left( {p – a + p – b + p – c} right)})
(Leftrightarrow sqrt {p – a} + sqrt {p – b} + sqrt {p – c} le sqrt {3left( {3p – 2p} right)} = sqrt {3p})(điều phải chứng minh)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (frac{1}{{p – a}} = frac{1}{{p – b}} = frac{1}{{p – c}} Leftrightarrow a = b = c) hay tam giác là tam giác đều
III. Bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bài 1:. Cho các số thực dương a, b, c sao cho (ab + bc + ca + abc le 4).
Chứng minh rằng: (2abcleft( {a + b + c} right) le dfrac{5}{9} + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2}) .
Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 trường Chuyên KHTN ĐHQG HN 2015
Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c sao cho (ab + bc + ca = 1).
Chứng minh rằng: (2abcleft( {a + b + c} right) le dfrac{5}{9} + {a^4}{b^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{a^2})
Bài 3. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
(dfrac{1}{{{a^2} + ab + bc}} + dfrac{1}{{{b^2} + bc + ca}} + dfrac{1}{{{c^2} + ca + ab}} le {left( {dfrac{{a + b + c}}{{ac + ab + bc}}} right)^2})
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a, (A = sqrt {6 – x} + sqrt {x + 2})
b, (B = sqrt x + sqrt {2 – x})
Bài 5: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
(frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + frac{b}{{sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + frac{c}{{sqrt {{c^2} + {a^2}} }} le frac{3}{{sqrt 2 }})
(gợi ý: biến đổi vế trái thành (sqrt {frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} + sqrt {frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} + sqrt {frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {a^2}}}}) rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)
Bài 6: Cho a, b, c là các số thực dương, . Chứng minh rằng:
(sqrt {a – 1} + sqrt {b – 1} + sqrt {c – 1} le sqrt {cleft( {ab + 1} right)})
Bài 7: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:
(frac{1}{{{a^3}left( {b + c} right)}} + frac{1}{{{b^3}left( {c + a} right)}} + frac{1}{{{c^3}left( {a + b} right)}} ge frac{3}{2})
Bài 8: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn x2 + y2 ≤ x + y. Chứng minh:
x + 3y ≤ 2 + (sqrt{5})